R と オプション・グリークス、インプライドボラティリティ

MAXIMAではブラック・ショールズ・モデルの数式操作や展開を行うのに便利だが、実際の株価等の時系列データを取り込んでオプション・グリークスを計算するのにはRのような統計ソフトが使いやすい。統計ソフトRでは様々な便利なパッケージが提供されているので、自分の目的に合ったライブラリーを見つけて使うのが効率的である。 金融工学関連でも多数あるようだが、たまたま見つけた derivmkts を利用してオプショングリークスを計算してみる。RStudioのmarkdownを使って計算結果をhtml出力してみた。オンライン証券で提供されているトレーディングツールから得たオプションの板情報でのグリークスと近い数値となっている。いずれもブラックショールズモデルを基礎としているので当然のことだが、Rを使っていろいろと変数を動かして様々なグラフを描くとは投資のイメージ作りに役立つと思う。以下のような前提でグリークスの計算例とインプライド・ボラティリティの計算を試みた。権利行使価格22,875円 ボラティリティ0.11、残存日数7日、利子率0の条件下で原資産価格を22,000円から50円刻みで24,000円まで変化させた場合のグリークスを計算しグラフ表示している。つぎに、コール価格165、プット価格125の場合のインプライド・ボラティリティを計算している。

library(derivmkts)
# 株式時価 s、権利行使価格 k
# ボラティリティ v 利子率 r
# 残存期間 tt  配当 d
s=22920; k=22875; v=0.11; r=0; tt=7/365; d=0;
# コールの価格は以下のとおり
bscall(s, k, v, r, tt, d)## [1] 162.8083# プット価格は以下のとおり
bsput(s, k, v, r, tt, d)## [1] 117.8083s <- seq(22000, 24000, by=50)

gcall<-bscall(s, k, v, r, tt, d)

gput<-bsput(s, k, v, r, tt, d)
# コールとプットの価格曲線をグラフで示すと

plot(s,gcall,type="l")

コール価格曲線

 plot(s,gput,type="l")

プット価格曲線

 

# 上記と同様の条件でグリークスを計算すると

greeks(bscall(s, k, v, r, tt, d), complete=FALSE, long=FALSE, initcaps=TRUE)

##             bscall_22000  bscall_22050  bscall_22100  bscall_22150
## Premium     5.672404e-01  8.995214e-01  1.398441e+00  2.132130e+00
## Delta       5.344606e-03  8.115640e-03  1.206711e-02  1.757464e-02
## Gamma       4.568790e-05  6.622258e-05  9.322321e-05  1.284661e-04
## Vega        4.674630e-01  6.778329e-01  9.605509e-01  1.330477e+00
## Rho         2.244106e-02  3.414664e-02  5.087653e-02  7.424722e-02
## Theta      -3.672939e-01 -5.325830e-01 -7.547162e-01 -1.045369e+00
## Psi        -2.254984e-02 -3.431915e-02 -5.114472e-02 -7.465613e-02
## Elasticity  2.072866e+02  1.989390e+02  1.907004e+02  1.825772e+02
##             bscall_22200  bscall_22250  bscall_22300  bscall_22350
## Premium     3.189151e+00  4.681533e+00  6.747131e+00   9.550829722
## Delta       2.507880e-02  3.507557e-02  4.809808e-02   0.064689060
## Gamma       1.733724e-04  2.307843e-04  2.967226e-04   0.000371756
## Vega        1.801563e+00  2.385133e+00  3.087891e+00   3.909868763
## Rho         1.061622e-01  1.487740e-01  2.044077e-01   0.275445146
## Theta      -1.415505e+00 -1.874020e+00 -2.426184e+00  -3.072021120
## Psi        -1.067739e-01 -1.496718e-01 -2.057017e-01  -0.277276812
## Elasticity  1.745761e+02  1.667043e+02  1.589694e+02 151.379569627
##             bscall_22400  bscall_22450  bscall_22500  bscall_22550
## Premium     1.328415e+01  1.816286e+01  2.442234e+01  3.231061e+01
## Delta       8.536453e-02  1.105708e-01  1.406381e-01  1.757354e-01
## Gamma       4.558842e-04  5.434231e-04  6.525624e-04  7.366907e-04
## Vega        4.842585e+00  5.867739e+00  6.956741e+00  8.071328e+00
## Rho         3.641690e-01  4.725770e-01  6.021792e-01  7.537990e-01
## Theta      -3.804869e+00 -4.610348e+00 -5.465996e+00 -6.341748e+00
## Psi        -3.667167e-01 -4.760603e-01 -6.068629e-01 -7.599956e-01
## Elasticity  1.439434e+02  1.366698e+02  1.295681e+02  1.226481e+02
##             bscall_22600  bscall_22650  bscall_22700 bscall_22750
## Premium     4.207933e+01  53.973045151  68.217578141 85.008406608
## Delta       2.158325e-01   0.260672678   0.309763823  0.362387109
## Gamma       8.458301e-04   0.000941327   0.001027729  0.001086846
## Vega        9.165375e+00  10.187863587  11.086761805 11.813417785
## Rho         9.274010e-01   1.121968293   1.335450611  1.564796932
## Theta      -7.201364e+00  -8.004757062  -8.711043165 -9.281995152
## Psi        -9.354711e-01  -1.132319288  -1.348533434 -1.581099914
## Elasticity  1.159195e+02 109.392311103 103.076640486 96.982252187
##             bscall_22800  bscall_22850  bscall_22900  bscall_22950
## Premium    104.499982387 126.797021984 151.948560657 179.945334316
## Delta        0.417626998   0.474418939   0.531611422   0.588035973
## Gamma        0.001109584   0.001127773   0.001136868   0.001136868
## Vega        12.326952636  12.598092577  12.611939462  12.369313915
## Rho          1.806075821   2.054677500   2.305580008   2.553653709
## Theta       -9.685492851  -9.898534628  -9.909414361  -9.718776835
## Psi         -1.826116914  -2.078994737  -2.334720828  -2.588163773
## Elasticity  91.118633028  85.494695295  80.118571129  74.997363141
##             bscall_23000  bscall_23050  bscall_23100  bscall_23150
## Premium    210.720716688 244.155080009  2.800831e+02  3.183034e+02
## Delta        0.642578107   0.694242181  7.422039e-01  7.858462e-01
## Gamma        0.001073204   0.001009539  9.276846e-04  8.367351e-04
## Vega        11.886504756  11.193483340  1.033085e+01  9.345953e+00
## Rho          2.793973380   3.022106544  3.234350e+00  3.427897e+00
## Theta       -9.339420858  -8.794896154 -8.117105e+00 -7.343247e+00
## Psi         -2.834385573  -3.068930806 -3.288065e+00 -3.488942e+00
## Elasticity  70.136893443  65.541467582  6.121365e+01  5.715409e+01
##             bscall_23200  bscall_23250  bscall_23300  bscall_23350
## Premium     3.585891e+02  4.006995e+02  4.443904e+02  4.894241e+02
## Delta       8.247761e-01  8.588230e-01  8.880204e-01  9.125755e-01
## Gamma       7.275958e-04  6.184564e-04  4.911271e-04  4.547474e-04
## Vega        8.288653e+00  7.207309e+00  6.145351e+00  5.138774e+00
## Rho         3.600918e+00  3.752563e+00  3.882888e+00  3.992726e+00
## Theta      -6.512504e+00 -5.662871e+00 -4.828472e+00 -4.037588e+00
## Psi        -3.669689e+00 -3.829409e+00 -3.968113e+00 -4.086588e+00
## Elasticity  5.336138e+01  4.983195e+01  4.656013e+01  4.353819e+01
##             bscall_23400  bscall_23450  bscall_23500  bscall_23550
## Premium     5.355763e+02  5.826426e+02  6.304418e+02  6.788174e+02
## Delta       9.328301e-01  9.492186e-01  9.622277e-01  9.723598e-01
## Gamma       3.637979e-04  2.728484e-04  2.000888e-04  2.000888e-04
## Vega        4.214696e+00  3.390948e+00  2.676565e+00  2.072954e+00
## Rho         4.083521e+00  4.157143e+00  4.215708e+00  4.261419e+00
## Theta      -3.311527e+00 -2.664299e+00 -2.103001e+00 -1.628738e+00
## Psi        -4.186234e+00 -4.268883e+00 -4.336615e+00 -4.391603e+00
## Elasticity  4.075652e+01  3.820382e+01  3.586747e+01  3.373378e+01
##             bscall_23600  bscall_23650  bscall_23700  bscall_23750
## Premium     7.276380e+02  7.767956e+02  8.262037e+02  8.757946e+02
## Delta       9.801036e-01  9.859120e-01  9.901881e-01  9.932785e-01
## Gamma       1.455192e-04  1.273293e-04  7.275958e-05  3.637979e-05
## Vega        1.575468e+00  1.175141e+00  8.603657e-01  6.183588e-01
## Rho         4.296429e+00  4.322744e+00  4.342158e+00  4.356219e+00
## Theta      -1.237860e+00 -9.233210e-01 -6.760003e-01 -4.858540e-01
## Psi        -4.435976e+00 -4.471718e+00 -4.500608e+00 -4.524179e+00
## Elasticity  3.178840e+01  3.001667e+01  2.840396e+01  2.693595e+01
##             bscall_23800  bscall_23850  bscall_23900  bscall_23950
## Premium     9.255166e+02  9.753307e+02  1.025208e+03  1.075129e+03
## Delta       9.954711e-01  9.969987e-01  9.980436e-01  9.987457e-01
## Gamma       5.456968e-05  1.818989e-05  3.637979e-05  1.818989e-05
## Vega        4.363286e-01  3.023106e-01  2.056885e-01  1.374466e-01
## Rho         4.366216e+00  4.373195e+00  4.377979e+00  4.381200e+00
## Theta      -3.428316e-01 -2.375325e-01 -1.616154e-01 -1.079967e-01
## Psi        -4.543712e+00 -4.560244e+00 -4.574594e+00 -4.587389e+00
## Elasticity  2.559891e+01  2.437985e+01  2.326673e+01  2.224845e+01
##             bscall_24000
## Premium    1125.07904206
## Delta         0.99920901
## Gamma         0.00000000
## Vega          0.09021413
## Rho           4.38333036
## Theta        -0.07088523
## Psi          -4.59909894
## Elasticity   21.31496120

greeks(bsput(s, k, v, r, tt, d), complete=FALSE, long=FALSE, initcaps=TRUE)

##              bsput_22000   bsput_22050   bsput_22100   bsput_22150
## Premium     8.755672e+02  8.258995e+02  7.763984e+02  7.271321e+02
## Delta      -9.946554e-01 -9.918844e-01 -9.879329e-01 -9.824254e-01
## Gamma       5.456968e-05  7.275958e-05  9.094947e-05  1.273293e-04
## Vega        4.674630e-01  6.778329e-01  9.605509e-01  1.330477e+00
## Rho        -4.364545e+00 -4.352840e+00 -4.336110e+00 -4.312739e+00
## Theta      -3.672939e-01 -5.325830e-01 -7.547162e-01 -1.045369e+00
## Psi         4.196628e+00  4.194448e+00  4.187211e+00  4.173289e+00
## Elasticity -2.499228e+01 -2.648149e+01 -2.812128e+01 -2.992678e+01
##              bsput_22200   bsput_22250   bsput_22300   bsput_22350
## Premium     6.781892e+02  6.296815e+02  5.817471e+02  5.345508e+02
## Delta      -9.749212e-01 -9.649244e-01 -9.519019e-01 -9.353109e-01
## Gamma       1.818989e-04  2.182787e-04  2.910383e-04  3.637979e-04
## Vega        1.801563e+00  2.385133e+00  3.087891e+00  3.909869e+00
## Rho        -4.280824e+00 -4.238212e+00 -4.182579e+00 -4.111541e+00
## Theta      -1.415505e+00 -1.874020e+00 -2.426184e+00 -3.072021e+00
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## Elasticity -3.191330e+01 -3.409592e+01 -3.648907e+01 -3.910610e+01
##              bsput_22400   bsput_22450   bsput_22500   bsput_22550
## Premium     4.882842e+02  4.431629e+02  3.994223e+02  3.573106e+02
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## Rho        -4.022817e+00 -3.914409e+00 -3.784807e+00 -3.633187e+00
## Theta      -3.804869e+00 -4.610348e+00 -5.465996e+00 -6.341748e+00
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## Elasticity -4.195884e+01 -4.505722e+01 -4.840902e+01 -5.201963e+01
##              bsput_22600   bsput_22650   bsput_22700   bsput_22750
## Premium    317.079334375  2.789730e+02 243.217578141 210.008406608
## Delta       -0.784167551 -7.393273e-01  -0.690236193  -0.637612902
## Gamma        0.000854925  9.458745e-04   0.001055014   0.001091394
## Vega         9.165374661  1.018786e+01  11.086761805  11.813417785
## Rho         -3.459585255 -3.265018e+00  -3.051535690  -2.822189369
## Theta       -7.201364147 -8.004757e+00  -8.711043165  -9.281995152
## Psi          3.398775520  3.211516e+00   3.004891223   2.781913784
## Elasticity -55.891963689 -6.002646e+01 -64.421172592 -69.071966021
##              bsput_22800   bsput_22850   bsput_22900   bsput_22950
## Premium    179.499982387 151.797021984 126.948560657 104.945334316
## Delta       -0.582373032  -0.525581054  -0.468388571  -0.411964029
## Gamma        0.001109584   0.001127773   0.001127773   0.001127773
## Vega        12.326952636  12.598092577  12.611939462  12.369313915
## Rho         -2.580910480  -2.332308802  -2.081406293  -1.833332592
## Theta       -9.685492851  -9.898534628  -9.909414361  -9.718776835
## Psi          2.546485826   2.303197044   2.057059994   1.813206090
## Elasticity -73.972737741 -79.115696227 -84.491688741 -90.090469718
##              bsput_23000   bsput_23050   bsput_23100   bsput_23150
## Premium     85.720716688  6.915508e+01  5.508311e+01  4.330336e+01
## Delta       -0.357421904 -3.057578e-01 -2.577961e-01 -2.141538e-01
## Gamma        0.001073204  1.018634e-03  9.276846e-04  8.367351e-04
## Vega        11.886504756  1.119348e+01  1.033085e+01  9.345953e+00
## Rho         -1.593012921 -1.364880e+00 -1.152636e+00 -9.590889e-01
## Theta       -9.339420858 -8.794896e+00 -8.117105e+00 -7.343247e+00
## Psi          1.576573331  1.351617e+00  1.142072e+00  9.507841e-01
## Elasticity -95.901015772 -1.019118e+02 -1.081110e+02 -1.144867e+02
##              bsput_23200   bsput_23250   bsput_23300   bsput_23350
## Premium     3.358907e+01  2.569947e+01  1.939044e+01  1.442406e+01
## Delta      -1.752239e-01 -1.411770e-01 -1.119796e-01 -8.742451e-02
## Gamma       7.275958e-04  6.184564e-04  4.911271e-04  4.547474e-04
## Vega        8.288653e+00  7.207309e+00  6.145351e+00  5.138774e+00
## Rho        -7.860681e-01 -6.344236e-01 -5.040987e-01 -3.942603e-01
## Theta      -6.512504e+00 -5.662871e+00 -4.828472e+00 -4.037588e+00
## Psi         7.796263e-01  6.294949e-01  5.003800e-01  3.914941e-01
## Elasticity -1.210273e+02 -1.277212e+02 -1.345572e+02 -1.415248e+02
##              bsput_23400   bsput_23450   bsput_23500   bsput_23550
## Premium     1.057627e+01  7.642601e+00  5.441790e+00  3.817427e+00
## Delta      -6.716995e-02 -5.078145e-02 -3.777233e-02 -2.764016e-02
## Gamma       3.637979e-04  2.728484e-04  2.000888e-04  2.000888e-04
## Vega        4.214696e+00  3.390948e+00  2.676565e+00  2.072954e+00
## Rho        -3.034651e-01 -2.298432e-01 -1.712778e-01 -1.255673e-01
## Theta      -3.311527e+00 -2.664299e+00 -2.103001e+00 -1.628738e+00
## Psi         3.014368e-01  2.283775e-01  1.702342e-01  1.248352e-01
## Elasticity -1.486136e+02 -1.558141e+02 -1.631173e+02 -1.705143e+02
##              bsput_23600   bsput_23650   bsput_23700   bsput_23750
## Premium     2.637986e+00  1.795557e+00  1.203675e+00  7.946363e-01
## Delta      -1.989642e-02 -1.408805e-02 -9.811902e-03 -6.721530e-03
## Gamma       1.455192e-04  1.273293e-04  7.275958e-05  3.637979e-05
## Vega        1.575468e+00  1.175141e+00  8.603657e-01  6.183588e-01
## Rho        -9.055762e-02 -6.424241e-02 -4.482794e-02 -3.076759e-02
## Theta      -1.237860e+00 -9.233210e-01 -6.760003e-01 -4.858540e-01
## Psi         9.005170e-02  6.389806e-02  4.459709e-02  3.061520e-02
## Elasticity -1.779977e+02 -1.855594e+02 -1.931933e+02 -2.008923e+02
##              bsput_23800   bsput_23850   bsput_23900   bsput_23950
## Premium     5.165914e-01  3.306907e-01  2.084367e-01  1.293569e-01
## Delta      -4.528883e-03 -3.001351e-03 -1.956378e-03 -1.254302e-03
## Gamma       5.456968e-05  1.818989e-05  3.637979e-05  1.818989e-05
## Vega        4.363286e-01  3.023106e-01  2.056885e-01  1.374466e-01
## Rho        -2.077061e-02 -1.379157e-02 -9.007185e-03 -5.786036e-03
## Theta      -3.428316e-01 -2.375325e-01 -1.616154e-01 -1.079967e-01
## Psi         2.067154e-02  1.372815e-02  8.967210e-03  5.761228e-03
## Elasticity -2.086512e+02 -2.164627e+02 -2.243243e+02 -2.322299e+02
##              bsput_24000
## Premium     7.904206e-02
## Delta      -7.910057e-04
## Gamma       0.000000e+00
## Vega        9.021413e-02
## Rho        -3.655940e-03
## Theta      -7.088523e-02
## Psi         3.640782e-03
## Elasticity -2.401777e+02

#######原資産価格別のgreeksのグラフ表示

S <- seq(22000, 24000, by=50)
Call <- greeks(bscall(S, k, v, r, tt, d))
Put <- greeks(bsput(S, k, v, r, tt, d))
y <- list(Call=Call, Put=Put)
par(mfrow=c(1, 2))
for (i in names(y)) {
  for (j in rownames(y[[i]])) {
    plot(S, y[[i]][j, ], main=paste(i, j), ylab=j, type='l')
  }
}

オプショングリークス  デルタ

ロー セータ

インプライドボラティリティ

インプライドボラティリティ

 

##原資産価格別のgreeksを印刷
(yy<-as.data.frame(y)

)##            Call.bscall_22000 Call.bscall_22050 Call.bscall_22100
## Premium         5.672404e-01      8.995214e-01      1.398441e+00
## Delta           5.344606e-03      8.115640e-03      1.206711e-02
## Gamma           4.568790e-05      6.622258e-05      9.322321e-05
## Vega            4.674630e-01      6.778329e-01      9.605509e-01
## Rho             2.244106e-02      3.414664e-02      5.087653e-02
## Theta          -3.672939e-01     -5.325830e-01     -7.547162e-01
## Psi            -2.254984e-02     -3.431915e-02     -5.114472e-02
## Elasticity      2.072866e+02      1.989390e+02      1.907004e+02
##            Call.bscall_22150 Call.bscall_22200 Call.bscall_22250
## Premium         2.132130e+00      3.189151e+00      4.681533e+00
## Delta           1.757464e-02      2.507880e-02      3.507557e-02
## Gamma           1.284661e-04      1.733724e-04      2.307843e-04
## Vega            1.330477e+00      1.801563e+00      2.385133e+00
## Rho             7.424722e-02      1.061622e-01      1.487740e-01
## Theta          -1.045369e+00     -1.415505e+00     -1.874020e+00
## Psi            -7.465613e-02     -1.067739e-01     -1.496718e-01
## Elasticity      1.825772e+02      1.745761e+02      1.667043e+02
##            Call.bscall_22300 Call.bscall_22350 Call.bscall_22400
## Premium         6.747131e+00       9.550829722      1.328415e+01
## Delta           4.809808e-02       0.064689060      8.536453e-02
## Gamma           2.967226e-04       0.000371756      4.558842e-04
## Vega            3.087891e+00       3.909868763      4.842585e+00
## Rho             2.044077e-01       0.275445146      3.641690e-01
## Theta          -2.426184e+00      -3.072021120     -3.804869e+00
## Psi            -2.057017e-01      -0.277276812     -3.667167e-01
## Elasticity      1.589694e+02     151.379569627      1.439434e+02
##            Call.bscall_22450 Call.bscall_22500 Call.bscall_22550
## Premium         1.816286e+01      2.442234e+01      3.231061e+01
## Delta           1.105708e-01      1.406381e-01      1.757354e-01
## Gamma           5.434231e-04      6.525624e-04      7.366907e-04
## Vega            5.867739e+00      6.956741e+00      8.071328e+00
## Rho             4.725770e-01      6.021792e-01      7.537990e-01
## Theta          -4.610348e+00     -5.465996e+00     -6.341748e+00
## Psi            -4.760603e-01     -6.068629e-01     -7.599956e-01
## Elasticity      1.366698e+02      1.295681e+02      1.226481e+02
##            Call.bscall_22600 Call.bscall_22650 Call.bscall_22700
## Premium         4.207933e+01      53.973045151      68.217578141
## Delta           2.158325e-01       0.260672678       0.309763823
## Gamma           8.458301e-04       0.000941327       0.001027729
## Vega            9.165375e+00      10.187863587      11.086761805
## Rho             9.274010e-01       1.121968293       1.335450611
## Theta          -7.201364e+00      -8.004757062      -8.711043165
## Psi            -9.354711e-01      -1.132319288      -1.348533434
## Elasticity      1.159195e+02     109.392311103     103.076640486
##            Call.bscall_22750 Call.bscall_22800 Call.bscall_22850
## Premium         85.008406608     104.499982387     126.797021984
## Delta            0.362387109       0.417626998       0.474418939
## Gamma            0.001086846       0.001109584       0.001127773
## Vega            11.813417785      12.326952636      12.598092577
## Rho              1.564796932       1.806075821       2.054677500
## Theta           -9.281995152      -9.685492851      -9.898534628
## Psi             -1.581099914      -1.826116914      -2.078994737
## Elasticity      96.982252187      91.118633028      85.494695295
##            Call.bscall_22900 Call.bscall_22950 Call.bscall_23000
## Premium        151.948560657     179.945334316     210.720716688
## Delta            0.531611422       0.588035973       0.642578107
## Gamma            0.001136868       0.001136868       0.001073204
## Vega            12.611939462      12.369313915      11.886504756
## Rho              2.305580008       2.553653709       2.793973380
## Theta           -9.909414361      -9.718776835      -9.339420858
## Psi             -2.334720828      -2.588163773      -2.834385573
## Elasticity      80.118571129      74.997363141      70.136893443
##            Call.bscall_23050 Call.bscall_23100 Call.bscall_23150
## Premium        244.155080009      2.800831e+02      3.183034e+02
## Delta            0.694242181      7.422039e-01      7.858462e-01
## Gamma            0.001009539      9.276846e-04      8.367351e-04
## Vega            11.193483340      1.033085e+01      9.345953e+00
## Rho              3.022106544      3.234350e+00      3.427897e+00
## Theta           -8.794896154     -8.117105e+00     -7.343247e+00
## Psi             -3.068930806     -3.288065e+00     -3.488942e+00
## Elasticity      65.541467582      6.121365e+01      5.715409e+01
##            Call.bscall_23200 Call.bscall_23250 Call.bscall_23300
## Premium         3.585891e+02      4.006995e+02      4.443904e+02
## Delta           8.247761e-01      8.588230e-01      8.880204e-01
## Gamma           7.275958e-04      6.184564e-04      4.911271e-04
## Vega            8.288653e+00      7.207309e+00      6.145351e+00
## Rho             3.600918e+00      3.752563e+00      3.882888e+00
## Theta          -6.512504e+00     -5.662871e+00     -4.828472e+00
## Psi            -3.669689e+00     -3.829409e+00     -3.968113e+00
## Elasticity      5.336138e+01      4.983195e+01      4.656013e+01
##            Call.bscall_23350 Call.bscall_23400 Call.bscall_23450
## Premium         4.894241e+02      5.355763e+02      5.826426e+02
## Delta           9.125755e-01      9.328301e-01      9.492186e-01
## Gamma           4.547474e-04      3.637979e-04      2.728484e-04
## Vega            5.138774e+00      4.214696e+00      3.390948e+00
## Rho             3.992726e+00      4.083521e+00      4.157143e+00
## Theta          -4.037588e+00     -3.311527e+00     -2.664299e+00
## Psi            -4.086588e+00     -4.186234e+00     -4.268883e+00
## Elasticity      4.353819e+01      4.075652e+01      3.820382e+01
##            Call.bscall_23500 Call.bscall_23550 Call.bscall_23600
## Premium         6.304418e+02      6.788174e+02      7.276380e+02
## Delta           9.622277e-01      9.723598e-01      9.801036e-01
## Gamma           2.000888e-04      2.000888e-04      1.455192e-04
## Vega            2.676565e+00      2.072954e+00      1.575468e+00
## Rho             4.215708e+00      4.261419e+00      4.296429e+00
## Theta          -2.103001e+00     -1.628738e+00     -1.237860e+00
## Psi            -4.336615e+00     -4.391603e+00     -4.435976e+00
## Elasticity      3.586747e+01      3.373378e+01      3.178840e+01
##            Call.bscall_23650 Call.bscall_23700 Call.bscall_23750
## Premium         7.767956e+02      8.262037e+02      8.757946e+02
## Delta           9.859120e-01      9.901881e-01      9.932785e-01
## Gamma           1.273293e-04      7.275958e-05      3.637979e-05
## Vega            1.175141e+00      8.603657e-01      6.183588e-01
## Rho             4.322744e+00      4.342158e+00      4.356219e+00
## Theta          -9.233210e-01     -6.760003e-01     -4.858540e-01
## Psi            -4.471718e+00     -4.500608e+00     -4.524179e+00
## Elasticity      3.001667e+01      2.840396e+01      2.693595e+01
##            Call.bscall_23800 Call.bscall_23850 Call.bscall_23900
## Premium         9.255166e+02      9.753307e+02      1.025208e+03
## Delta           9.954711e-01      9.969987e-01      9.980436e-01
## Gamma           5.456968e-05      1.818989e-05      3.637979e-05
## Vega            4.363286e-01      3.023106e-01      2.056885e-01
## Rho             4.366216e+00      4.373195e+00      4.377979e+00
## Theta          -3.428316e-01     -2.375325e-01     -1.616154e-01
## Psi            -4.543712e+00     -4.560244e+00     -4.574594e+00
## Elasticity      2.559891e+01      2.437985e+01      2.326673e+01
##            Call.bscall_23950 Call.bscall_24000 Put.bsput_22000
## Premium         1.075129e+03     1125.07904206    8.755672e+02
## Delta           9.987457e-01        0.99920901   -9.946554e-01
## Gamma           1.818989e-05        0.00000000    5.456968e-05
## Vega            1.374466e-01        0.09021413    4.674630e-01
## Rho             4.381200e+00        4.38333036   -4.364545e+00
## Theta          -1.079967e-01       -0.07088523   -3.672939e-01
## Psi            -4.587389e+00       -4.59909894    4.196628e+00
## Elasticity      2.224845e+01       21.31496120   -2.499228e+01
##            Put.bsput_22050 Put.bsput_22100 Put.bsput_22150 Put.bsput_22200
## Premium       8.258995e+02    7.763984e+02    7.271321e+02    6.781892e+02
## Delta        -9.918844e-01   -9.879329e-01   -9.824254e-01   -9.749212e-01
## Gamma         7.275958e-05    9.094947e-05    1.273293e-04    1.818989e-04
## Vega          6.778329e-01    9.605509e-01    1.330477e+00    1.801563e+00
## Rho          -4.352840e+00   -4.336110e+00   -4.312739e+00   -4.280824e+00
## Theta        -5.325830e-01   -7.547162e-01   -1.045369e+00   -1.415505e+00
## Psi           4.194448e+00    4.187211e+00    4.173289e+00    4.150760e+00
## Elasticity   -2.648149e+01   -2.812128e+01   -2.992678e+01   -3.191330e+01
##            Put.bsput_22250 Put.bsput_22300 Put.bsput_22350 Put.bsput_22400
## Premium       6.296815e+02    5.817471e+02    5.345508e+02    4.882842e+02
## Delta        -9.649244e-01   -9.519019e-01   -9.353109e-01   -9.146355e-01
## Gamma         2.182787e-04    2.910383e-04    3.637979e-04    4.729372e-04
## Vega          2.385133e+00    3.087891e+00    3.909869e+00    4.842585e+00
## Rho          -4.238212e+00   -4.182579e+00   -4.111541e+00   -4.022817e+00
## Theta        -1.874020e+00   -2.426184e+00   -3.072021e+00   -3.804869e+00
## Psi           4.117452e+00    4.071011e+00    4.009025e+00    3.929174e+00
## Elasticity   -3.409592e+01   -3.648907e+01   -3.910610e+01   -4.195884e+01
##            Put.bsput_22450 Put.bsput_22500 Put.bsput_22550 Put.bsput_22600
## Premium       4.431629e+02    3.994223e+02    3.573106e+02   317.079334375
## Delta        -8.894292e-01   -8.593619e-01   -8.242646e-01    -0.784167551
## Gamma         5.275069e-04    6.548362e-04    7.275958e-04     0.000854925
## Vega          5.867739e+00    6.956741e+00    8.071328e+00     9.165374661
## Rho          -3.914409e+00   -3.784807e+00   -3.633187e+00    -3.459585255
## Theta        -4.610348e+00   -5.465996e+00   -6.341748e+00    -7.201364147
## Psi           3.829419e+00    3.708206e+00    3.564662e+00     3.398775520
## Elasticity   -4.505722e+01   -4.840902e+01   -5.201963e+01   -55.891963689
##            Put.bsput_22650 Put.bsput_22700 Put.bsput_22750 Put.bsput_22800
## Premium       2.789730e+02   243.217578141   210.008406608   179.499982387
## Delta        -7.393273e-01    -0.690236193    -0.637612902    -0.582373032
## Gamma         9.458745e-04     0.001055014     0.001091394     0.001109584
## Vega          1.018786e+01    11.086761805    11.813417785    12.326952636
## Rho          -3.265018e+00    -3.051535690    -2.822189369    -2.580910480
## Theta        -8.004757e+00    -8.711043165    -9.281995152    -9.685492851
## Psi           3.211516e+00     3.004891223     2.781913784     2.546485826
## Elasticity   -6.002646e+01   -64.421172592   -69.071966021   -73.972737741
##            Put.bsput_22850 Put.bsput_22900 Put.bsput_22950 Put.bsput_23000
## Premium      151.797021984   126.948560657   104.945334316    85.720716688
## Delta         -0.525581054    -0.468388571    -0.411964029    -0.357421904
## Gamma          0.001127773     0.001127773     0.001127773     0.001073204
## Vega          12.598092577    12.611939462    12.369313915    11.886504756
## Rho           -2.332308802    -2.081406293    -1.833332592    -1.593012921
## Theta         -9.898534628    -9.909414361    -9.718776835    -9.339420858
## Psi            2.303197044     2.057059994     1.813206090     1.576573331
## Elasticity   -79.115696227   -84.491688741   -90.090469718   -95.901015772
##            Put.bsput_23050 Put.bsput_23100 Put.bsput_23150 Put.bsput_23200
## Premium       6.915508e+01    5.508311e+01    4.330336e+01    3.358907e+01
## Delta        -3.057578e-01   -2.577961e-01   -2.141538e-01   -1.752239e-01
## Gamma         1.018634e-03    9.276846e-04    8.367351e-04    7.275958e-04
## Vega          1.119348e+01    1.033085e+01    9.345953e+00    8.288653e+00
## Rho          -1.364880e+00   -1.152636e+00   -9.590889e-01   -7.860681e-01
## Theta        -8.794896e+00   -8.117105e+00   -7.343247e+00   -6.512504e+00
## Psi           1.351617e+00    1.142072e+00    9.507841e-01    7.796263e-01
## Elasticity   -1.019118e+02   -1.081110e+02   -1.144867e+02   -1.210273e+02
##            Put.bsput_23250 Put.bsput_23300 Put.bsput_23350 Put.bsput_23400
## Premium       2.569947e+01    1.939044e+01    1.442406e+01    1.057627e+01
## Delta        -1.411770e-01   -1.119796e-01   -8.742451e-02   -6.716995e-02
## Gamma         6.184564e-04    4.911271e-04    4.547474e-04    3.637979e-04
## Vega          7.207309e+00    6.145351e+00    5.138774e+00    4.214696e+00
## Rho          -6.344236e-01   -5.040987e-01   -3.942603e-01   -3.034651e-01
## Theta        -5.662871e+00   -4.828472e+00   -4.037588e+00   -3.311527e+00
## Psi           6.294949e-01    5.003800e-01    3.914941e-01    3.014368e-01
## Elasticity   -1.277212e+02   -1.345572e+02   -1.415248e+02   -1.486136e+02
##            Put.bsput_23450 Put.bsput_23500 Put.bsput_23550 Put.bsput_23600
## Premium       7.642601e+00    5.441790e+00    3.817427e+00    2.637986e+00
## Delta        -5.078145e-02   -3.777233e-02   -2.764016e-02   -1.989642e-02
## Gamma         2.728484e-04    2.000888e-04    2.000888e-04    1.455192e-04
## Vega          3.390948e+00    2.676565e+00    2.072954e+00    1.575468e+00
## Rho          -2.298432e-01   -1.712778e-01   -1.255673e-01   -9.055762e-02
## Theta        -2.664299e+00   -2.103001e+00   -1.628738e+00   -1.237860e+00
## Psi           2.283775e-01    1.702342e-01    1.248352e-01    9.005170e-02
## Elasticity   -1.558141e+02   -1.631173e+02   -1.705143e+02   -1.779977e+02
##            Put.bsput_23650 Put.bsput_23700 Put.bsput_23750 Put.bsput_23800
## Premium       1.795557e+00    1.203675e+00    7.946363e-01    5.165914e-01
## Delta        -1.408805e-02   -9.811902e-03   -6.721530e-03   -4.528883e-03
## Gamma         1.273293e-04    7.275958e-05    3.637979e-05    5.456968e-05
## Vega          1.175141e+00    8.603657e-01    6.183588e-01    4.363286e-01
## Rho          -6.424241e-02   -4.482794e-02   -3.076759e-02   -2.077061e-02
## Theta        -9.233210e-01   -6.760003e-01   -4.858540e-01   -3.428316e-01
## Psi           6.389806e-02    4.459709e-02    3.061520e-02    2.067154e-02
## Elasticity   -1.855594e+02   -1.931933e+02   -2.008923e+02   -2.086512e+02
##            Put.bsput_23850 Put.bsput_23900 Put.bsput_23950 Put.bsput_24000
## Premium       3.306907e-01    2.084367e-01    1.293569e-01    7.904206e-02
## Delta        -3.001351e-03   -1.956378e-03   -1.254302e-03   -7.910057e-04
## Gamma         1.818989e-05    3.637979e-05    1.818989e-05    0.000000e+00
## Vega          3.023106e-01    2.056885e-01    1.374466e-01    9.021413e-02
## Rho          -1.379157e-02   -9.007185e-03   -5.786036e-03   -3.655940e-03
## Theta        -2.375325e-01   -1.616154e-01   -1.079967e-01   -7.088523e-02
## Psi           1.372815e-02    8.967210e-03    5.761228e-03    3.640782e-03
## Elasticity   -2.164627e+02   -2.243243e+02   -2.322299e+02   -2.401777e+02

# やはり同様の条件でインプライドボラティリティを計算する.
s=22920; k=22875
# コールの価格が165の場合のIV

bscallimpvol(s, k, r, tt, d, 165)

## [1] 0.1117468# プットの価格が125の場合のIV
bsputimpvol(s, k, r, tt, d, 125)

## [1] 0.1157303

よくわかるブラック・ショールズ・モデル 蓑谷千凰彦 東洋経済新報社 2000年3月発行 の最後の方のページで日経225のオプションのインプライド・ボラティリティの計算例が示されている。株式時価17000、権利行使価格 17500 利子率 0.004 残存期間 30日  配当は無し という前提で
オプションの コール価格100から1000までのインプライド・ボラティリティをRで計算すると

library(derivmkts)
# 株式時価17000、権利行使価格 17500
#利子率 0.004  残存期間 30日  配当は無し
# コール価格100から1000までで、上記の条件でインプライドボラティリティを計算すると
s=17000; k=17500; r=0.004; tt=30/365; d=0;
cprice<- seq(100 , 1000, by= 100)
ivol<-rep(0,10)

for (i in 1:10){
  ivol[i]<-  bscallimpvol(s, k, r, tt, d, cprice[i])}

x<-cbind(cprice,ivol)
colnames(x)<-c("コール価格","インプライドボラ")
x
##       コール価格 インプライドボラ
##  [1,]        100        0.1422433
##  [2,]        200        0.2025254
##  [3,]        300        0.2583310
##  [4,]        400        0.3123135
##  [5,]        500        0.3653447
##  [6,]        600        0.4178137
##  [7,]        700        0.4699253
##  [8,]        800        0.5217995
##  [9,]        900        0.5735117
## [10,]       1000        0.6251129

インプライド・ボラティリティ雑感

インプライドボラティリティはオプション市場で成立したオプション価格から推定した原資産価格のボラティリティであるが、これが必ずしも将来の原資産価格のボラティリティの最良の予測値として使えるわけでもないだろうと思う。オプション市場が、いわゆるファイナンスのテキストでよく言われるような効率的市場、つまり総ての情報が適切に織り込まれてオプション価格が成立していると仮定すれば、合理的な予測値といえるかもしれないが、市場参加者の判断、つまりマーケットが誤っている可能性もあるので、ボラティリティを過大あるいは過小に評価していることもありうる。株式ETFを例にすれば、今後の企業業績について有力アナリストの意見が分かれ、かなり楽観的な分析とかなり悲観的な分析のレポートが発表された時には、決算発表が一段落するまで様子を見ようという投資家もいれば、ここは株式指数ETFの現物買いを避けてむしろ指数オプションを買っておこうとする投資家もいるだろう。このようなオプション市場の需給要因によってヒストリカルボラティリティは変わらなくても、オプション需要が高まり、オプション価格が上がり、その結果としてインプライドボラティリティが高くなることも考えられる。その時にはヒストリカルボラティリティとインプライドボラティリティのギャップが大きくなる。やがて決算発表が終わると事実が判明し(つまり不確実要因が解消し)マーケットでの価格調整が行われてヒストリカルボラティリティとインプライドボラボラティリティが収束することになる。市場参加者のいわゆる、ウワサで買い事実で売るという行動がインプライドボラティリティを一時的に高めることもあり得るだろう。インプライドボラティリティは今現在の市場参加者がどの程度の不安、迷いを持っているかの測定尺度としては有用だと思うが原資産価格の将来のボラティリティを予測するには何かgarchのようなモデルの推定法が必要になると思われる。

 

RによるGARCHの初歩

 

MAXIMAによるオプション・グリークス

 

金融工学の初等的計算例 目次