MAXIMAによるロジスティック方程式とロジスティック分布

ロジスティック曲線は人口増加モデルの微分方程式から誘導され、多くの先学が各自のページで詳しく説明している。「人口増加モデル 微分方程式 ロジスティック」などと検索エンジンに打ち込めば、数学的な導出過程を説明したページが見つかる。ここでは、それらを参考にしてMAXIMAを使って
dy/dt=k*(1-y/L)*y   

という微分方程式を解きロジスティック分布を導出する。

\( \DeclareMathOperator{\abs}{abs} \newcommand{\ensuremath}[1]{\mbox{$#1$}} \)
(%i2) diffeq: 'diff(y,t)=k*y*(1-y/L);
sol1:ode2(diffeq,y,t);
\[\tag{diffeq}\frac{d}{d t} y=k y\, \left( 1-\frac{y}{L}\right) \] \[\tag{sol1}-\frac{\log{\left( y-L\right) }-\log{(y)}}{k}=t+\mathit{\% c}\]
初期値 t=0,y(t)=cとする
(%i3) sol2:ic1(sol1, t=0, y=c);
\[\tag{sol2}-\frac{\log{\left( y-L\right) }-\log{(y)}}{k}=\frac{k t-\log{\left( c-L\right) }+\log{(c)}}{k}\]
logを含む式を簡潔にすると
(%i4) sol3:logcontract (sol2);
\[\tag{sol3}\frac{\log{\left( \frac{y}{y-L}\right) }}{k}=\frac{k t+\log{\left( \frac{c}{c-L}\right) }}{k}\]
yについて整理すると
(%i5) EQ1:solve (sol3, y);
\[\tag{EQ1}[y=\frac{L c\, {{\% e}^{k t}}}{c\, {{\% e}^{k t}}-c+L}]\]
(%i6) EQ2:rhs(EQ1[1]);;
\[\tag{EQ2}\frac{L c\, {{\% e}^{k t}}}{c\, {{\% e}^{k t}}-c+L}\]
ロジスティック分布関数を定義すると
(%i7) define(logist(L,k,c,t),(L*c*%e^(k*t))/(c*%e^(k*t)-c+L));
\[\tag{%o7} \operatorname{logist}\left( L,k,c,t\right) :=\frac{L c\, {{\% e}^{k t}}}{c\, {{\% e}^{k t}}-c+L}\]

 

L=500,k=0.02、初期値c=50について
ロジスティック分布関数をグラフにすると
(%i9) wxplot2d(logist(500,0.02,50,t),[t,-100,500]);
\[\tag{%t9} \] ロジスティック分布のグラフ
\[\tag{%o9} \]
ロジスティック分布関数をtで微分してロジスティック確率密度関数を定義すると
(%i10) define(logistpdf(L,k,c,t),diff(logist(L,k,c,t),t));
\[\tag{%o10} \operatorname{logistpdf}\left( L,k,c,t\right) :=\frac{L c k\, {{\% e}^{k t}}}{c\, {{\% e}^{k t}}-c+L}-\frac{L\, {{c}^{2}} k\, {{\% e}^{2 k t}}}{{{\left( c\, {{\% e}^{k t}}-c+L\right) }^{2}}}\]

L=500,k=0.02、初期値c=50について
ロジスティック確率密度関数をグラフにすると
(%i11) wxplot2d(logistpdf(500,0.02,50,t),[t,-100,500]);
\[\tag{%t11} \] ロジスティック分布の確率密度関数のグラフ
\[\tag{%o11} \]
正規確率密度函数よりもすそが少し厚めで、カーブは少しなだらかになっている。

Created with wxMaxima.

ロジスティック分布

累積密度関数

  

  

          

 確率密度関数

  

 

正規分布よりもすそが少し厚めで、累積密度関数のカーブは少しなだらかになっている。

 期待値 E(x)=0、分散V(x)=(π^2)/3 となる。グリーン(William H .Greene)の計量経済学テキストで少し詳しく書かれている。

 

ロジスティック分布の概略をまとめると以下のようになる。

ロジスティック分布の特性まとめ

 

 

金融工学の初等的計算例 目次